Analisi Tempo-Frequenza e Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Introduction In terms of time-frequency analysis, a function f=f(x) represents a signal that changes over time, while its Fourier transform f^(ξ) describes the behavior of the frequency of this signal (which commonly takes the name of 'spectrum' of f). The main question, so, is: why do we need a time-frequency representation? Consider a function f measurable and square-integrable (i.e. the signal which we referred earlier), its Fourier transform f^(ξ) explains what frequencies are represented in the signal, but does not provide any information on when these frequencies exist. The need to know how the frequency spectrum changes over time has required the development of new mathematical and physical theories. Similarly the signal analysis aims to describe the frequency spectrum at all times x, but this representation is unactable because of the Uncertainty Principle. Not rigorously, the Uncertainty Principle can be summarized as: Function f and its Fourier transform f^(ξ) cannot be supported in a range arbitrarily small. Because we cannot simultaneously know the times and the frequencies snapshots, we utilize time-frequency representations that allow us to give satisfactory information for the study of a signal that varies over time. Aim of the dissertation The aim of this thesis is to study the connections between the Heisenberg uncertainty principle (and its variants) and the Fourier transform(and its variants). Results In this dissertation, we decided to proceed as follow: In the first chapter we discussed some concepts necessary for the preparation of this thesis including spaces Lp, the Fourier transform and various operators frequently utilized in this work. In the second chapter we focused on the Uncertainty Principle, in first place giving some historical references and then illustrating its different formulations. We also enunciated and demonstrated a variant of the Uncertainty Principle which is called the Uncertainty Principle of Donoho and Stark. In the third chapter we moved the whole study of uncertainty principle from the Fourier Transform to the Short Time Fourier Transform. After the illustration of various necessary definitions, we demonstrated some basic properties of the Short Time Fourier Transform; then we enunciated and proved three different Uncertainty Principle: a weaker one, similar to the uncertainty principle of Donoho and Stark, and two finer presented both by E.Lieb. In the fourth and last chapter we introduced the Wigner distribution which results to be, even nowadays, one of the optimal time-frequency representations. After studying the Wigner distribution with all its properties (particularly the ones related to the support and the marginal densities), we focused on the most problematic part of the Wigner distribution, that is, the study of its positivity. This allowed us to prove an Uncertainty Principle for the Wigner distribution studied by Janssen and, at the same time, to appreciate the very delicate nature of the Wigner distribution. Finally in the chapter's finale we reported a generalization to space Lp made by E.Lieb in the article "Integral bounds for radar ambiguity functions and Wigner distribution" of 1989 published in "Journal of Mathematical Physics".

In termini di analisi tempo-frequenza, una funzione f=f(x) rappresenta un segnale che varia nel tempo, mentre la sua Trasformata di Fourier f^(ξ) descrive il comportamento della frequenza di tale segnale (che comunemente prende il nome di spettro di f). La domanda che sorge spontanea è: perché si ha bisogno di una rappresentazione tempo-frequenza? Sia f una funzione misurabile e quadrato-integrabile (i.e. il segnale a cui si faceva riferimento prima), la sua Trasformata di Fourier f^(ξ) ci dice quali frequenze sono presenti all'interno del segnale, ma non fornisce nessuna informazione su quando queste frequenze sussistano. L'esigenza di sapere come lo spettro delle frequenze cambi nel tempo ha richiesto lo sviluppo di teorie matematiche e fisiche. Allo stesso modo l'analisi del segnale mira a descrivere lo spettro delle frequenze in ogni istante x, tuttavia tale rappresentazione è resa inattuabile dal Principio di Indeterminazione. In modo poco rigoroso lo si può riassumere così: Una funzione f e la sua Trasformata di Fourier f^(ξ) non possono essere supportate in un intervallo arbitrariamente piccolo. Poiché non è possibile conoscere contemporaneamente tempi e frequenze istantanee, allora si ricorre a rappresentazioni tempo-frequenza che permettono di dare informazioni soddisfacenti per lo studio di un segnale che varia nel tempo. Lo scopo che ci siamo prefissi in questa tesi è studiare i collegamenti tra il principio di Indeterminazione di Heisenberg (e sue varianti) con la Trasformata di Fourier (e le sue varianti). Nella suddivisione di questa trattazione si è deciso di procedere nel modo seguente: Nel primo capitolo vengono riprese alcune nozioni necessarie alla redazione di questa tesi tra cui gli spazi Lp, la Trasformata di Fourier e vari operatori fondamentali e frequentemente utilizzati nel corso della trattazione. Nel secondo capitolo ci si concentra sul Principio di Indeterminazione, dando inizialmente alcuni accenni storici e poi sue diverse formulazioni. Si è inoltre enunciata e dimostrata una variante del principio di Indeterminazione che prende il nome di principio di Indeterminazione di Donoho e Stark. Nel terzo capitolo si è trasportato tutto il discorso del principio di Indeterminazione dalla Trasformata di Fourier alla Trasformata di Fourier Short Time. Dopo aver enunciato e dimostrato alcune proprietà fondamentali della Trasformata di Fourier Short Time, si è passato ad enunciare e dimostrare tre diversi Principi di Indeterminazione: uno più debole, analogo del principio di Indeterminazione di Donoho e Stark, e due più fini presentati entrambi da E.Lieb. Nel quarto ed ultimo capitolo si è introdotta la distribuzione di Wigner che risulta essere ancora oggi una delle rappresentazioni tempo-frequenza ottimali. Dopo aver studiato la distribuzione di Wigner con tutte le sue proprietà (in particolare legate al supporto ed alle densità marginali), ci si concentrerà sulla parte più problematica della distribuzione di Wigner, cioè lo studio della sua positività. Questo ci permetterà di provare un principio di Indeterminazione per la distribuzione di Wigner presentato da Janssen, ma allo stesso tempo ci farà vedere la natura alquanto delicata della distribuzione di Wigner. Il capitolo e la trattazione si chiuderanno presentando una generalizzazione agli spazi Lp presentata da E.Lieb nell'articolo ¿Integral bounds for radar ambiguity functions and Wigner distribution¿ del 1989 pubblicato su ¿Journal of Mathematical Physics¿.