Alcuni risultati sui processi di branching

I processi di branching (branching processes) rappresentano una classe di modelli stoca- stici utilizzati per descrivere la crescita e la diramazione di una popolazione attraverso generazioni successive. I processi di branching sono fondamentali nella teoria delle probabilità e trovano applicazione in una vasta gamma di discipline, dalla biologia al- la fisica, passando per l’economia e la demografia. Questo lavoro di tesi si propone di esplorare in dettaglio due classi principali di processi di branching: il processo di Galton-Watson e i processi di branching markoviani a tempo continuo, analizzandone in particolare il comportamento asintotico. Inoltre, verranno presentate simulazioni nu- meriche condotte con il linguaggio di programmazione R per validare i risultati teorici ottenuti. Nel primo capitolo vengono riportati alcuni concetti di teoria delle probabili- tà che ricorreranno nel corso della trattazione Nel secondo capitolo, verrà introdotto il processo di Galton-Watson, uno dei modelli di branching più semplici e studiati. Que- sto modello prende il nome dai pionieri Francis Galton e Henry William Watson, che lo proposero nel XIX secolo per risolvere il problema dell’estinzione dei cognomi delle famiglie aristocratiche. Il processo di Galton-Watson descrive la dinamica di una po- polazione in cui ogni individuo, in una generazione, produce un numero di discendenti secondo una distribuzione di probabilità fissata. Uno degli aspetti più rilevanti di questo modello è il suo comportamento asintotico, ossia il destino della popolazione nel lungo periodo. A seconda dei parametri del modello, la popolazione può estinguersi con pro- babilità 1 o sopravvivere con una certa probabilità positiva. Particolare attenzione verrà dedicata alle condizioni sotto le quali la popolazione tende all’estinzione e ai casi in cui può verificarsi un’esplosione demografica. Il terzo capitolo estende l’analisi ai processi di branching markoviani a tempo con- tinuo, che rappresentano una generalizzazione naturale dei processi di Galton-Watson. Nei processi di branching a tempo continuo, gli eventi di nascita e morte degli indivi- dui avvengono in modo continuo nel tempo, seguendo una distribuzione esponenziale. Questo modello è particolarmente utile per descrivere sistemi biologici e fisici dove gli eventi non si verificano a intervalli discreti ma in modo continuo. Anche in questo con- testo, il comportamento asintotico riveste un ruolo cruciale: verranno analizzate le con- dizioni di estinzione e sopravvivenza della popolazione, nonché la possibilità di crescita esponenziale. Infine, il quarto capitolo sarà dedicato alle simulazioni numeriche condotte con il linguaggio di programmazione R. Le simulazioni permettono di visualizzare e compren- dere meglio i comportamenti teorici descritti nei capitoli precedenti. Utilizzando R, verranno generati e analizzati diversi scenari di processi di branching, sia discreti che continui. Le simulazioni forniranno una validazione empirica dei risultati teorici e per- metteranno di esplorare casi specifici. Attraverso questi esperimenti numerici, sarà pos- sibile osservare direttamente l’andamento delle popolazioni nel tempo e confermare le predizioni teoriche riguardanti l’estinzione, la sopravvivenza e la crescita esponenziale.