Spazi Uniformi in Teoria Descrittiva degli Insiemi Generalizzata

La teoria descrittiva degli insiemi classica studia lo spazio di Cantor, lo spazio di Baire e, più in generale, gli spazi polacchi (spazi completamente metrizzabili e secondo-numerabile). Negli ultimi quarant'anni, questa teoria ha trovato applicazioni in vari settori della matematica, dalla teoria dei modelli alla dinamica topologica e alla teoria degli spazi di Banach. La principale limitazione della teoria classica è la sua applicabilità solo a oggetti "piccoli": spazi di Banach separabili, modelli numerabili di una teoria del primo ordine, gruppi topologici secondo-numerabile, e così via. L'obiettivo della teoria descrittiva degli insiemi generalizzata è superare questo limite sostituendo il primo cardinale infinito ω (ovvero la cardinalità dei numeri naturali) con un cardinale infinito arbitrario κ. Questa sostituzione riguarda sia gli spazi concreti, sia le proprietà topologiche studiate. Mentre per gli spazi di Cantor e di Baire esiste una generalizzazione al contesto più che numerabile diffusamente accettata in letteratura, una definizione di spazio polacco generalizzato non è ancora univocamente accettata. Rimuovere la secondo-numerabilità mantenendo la completa metrizzabilità non è una strada percorribile, in quanto i nuovi spazi di Cantor e Baire non sono metrizzabili. Per questa ragione, vari approcci sono stati tentati per generalizzare le nozioni di metrizzabilità e completezza. Il più proficuo per quanto riguarda la metrizzabilità consiste nel considerare metriche a valori in strutture diverse dai numeri reali e conduce alla nozione di κ-metrizzabilità. Questa tesi si inserisce in questo filone, affrontando la seguente domanda: gli spazi uniformi sono un buon contesto in cui sviluppare la teoria descrittiva degli insiemi generalizzata? A prima vista, questa idea sembra ragionevole: l'obiettivo è estendere il concetto di spazio metrico, e gli spazi uniformi sono tra le strutture più studiate a questo scopo. Ma riflettendoci meglio, emergono diversi problemi. Il principale è la nozione di completa uniformabilità, che si dimostra essere molto debole. Un ben noto risultato di Dieudonné mostra che ogni spazio Hausdorff e paracompatto è completamente uniformabile. Questo è un problema significativo poiché gli spazi di Cantor e Baire generalizzati sono ereditariamente paracompatti e quindi ogni loro sottospazio è completamente uniformabile. Questa situazione è in completo contrasto sia con la teoria classica sia con le generalizzazioni esplorate finora. Inoltre, uno dei pilastri della teoria descrittiva degli insiemi è il fatto che un sottoinsieme di uno spazio polacco è polacco se e solo se è Gδ . Ciò rende gli spazi completamente uniformabili apparentemente inadatti a questo contesto. Il principale concetto introdotto nella tesi è quello di spazio κ-completamente uniformabile, studiato con lo scopo di superare questo ostacolo. I contributi originali, di seguito brevemente riassunti, sono raccolti nel secondo, terzo e quarto capitolo. Nel secondo capitolo, sono studiati gli spazi κ-uniformabili come possibile generalizzazione degli spazi metrici. In particolare, si dimostra che uno spazio è κ-metrizzabile se e solo se è κ-uniformabile e κ-additivo. Nel terzo capitolo, per risolvere il problema della debolezza della completà uniformabilità viene introdotto il concetto di spazio κ-completamente uniformabile. Infine, nel quarto capitolo sono applicati i concetti studiati precedentemente agli spazi di Cantor e Baire generalizzati.