Modelli stocastici di diffusioni anomale

I meccanismi di diffusione all'interno di un mezzo possono essere descritti tramite l'utilizzo di processi stocastici. Esiste una teoria classica in base alla quale le diffusioni sono definite come soluzioni di equazioni differenziali stocastiche. Tali processi sono detti "diffusioni di Itô" e vengono introdotti nel primo capitolo di questa Tesi. Le diffusioni di Itô sono guidate da un moto Browniano, il quale è caratterizzato dal fatto che lo spostamento quadratico medio cresce linearmente nel tempo. È stato tuttavia osservato che in alcuni sistemi fisici lo spostamento quadratico medio segue una legge di potenza. Diffusioni di questo tipo sono dette "diffusioni anomale" e vengono modellizzate nel secondo capitolo di questo lavoro tramite l'utilizzo di passeggiate aleatorie a tempo continuo. Infine nel terzo capitolo sono introdotti i cammini di Lévy, i quali possiedono traiettorie continue e presentano un comportamento anomalo dello spostamento quadratico medio. In particolare ne studieremo un esempio costruito come integrale di un processo semi-Markoviano con intertempi che seguono la distribuzione di Mittag-Leffler.