Alcuni aspetti del flusso Anomalo

The thesis is focused on the study of a geometric flow of Hermitian metric introduced by D. H. Phong, S. Picard and X. Zhang to study the Strominger system. This flow is called Anomaly flow and the limits of this flow are solutions of the Strominger system. In some recent articles was introduced a simplified version of the flow, sometimes called IIB flow, which has remarkable analytic-geometric properties. The geometry of this IIB flow was studied in the literature and it is understood when the starting metric is conformally balanced. The purpose of this thesis is to exhibit some key results of the Anomaly flow and set the basis for a future project of research involving the study of the flow when the initial data are not conformally balanced. As a first example in the thesis is studied the Anomaly flow in a 2-step nilpotent Lie group. In particular, it is completely characterized the long-time behaviour of the flow in 2-step nilpotent, J-abelian, balanced Lie groups, showing that the flow, in this case, subconverge to a non-flat algebraic soliton, in Cheeger-Gromov topology.

La tesi è incentrata sullo studio di un flusso geometrico di metriche Hermitiane introdotto da D. H. Phong, S. Picard e X. Zhang per studiare il sistema di Strominger. Il flusso, denominato Anomaly flow, è definito in modo che i suoi limiti siano soluzioni del sistema di Strominger. In alcuni articoli recenti è stata introdotta una semplificazione del flusso, talvolta denominata IIB flow, che ha notevoli proprietà analitiche-geometriche. La geometria di questa versione del flusso è stata abbondantemente studiata in letteratura ed è stata prevalentemente compresa quando la metrica di partenza è conformemente bilanciata. L’obiettivo di questa tesi è quello di fornire una descrizione dei risultati principali presenti in letteratura sull’Anomaly flow e porre le basi per un futuro programma di ricerca inerente lo studio del flusso per dati iniziali che non siano conformemente bilanciati. Come caso iniziale, nella tesi, viene considerato il flusso in gruppi di Lie 2-step nilpotenti e viene descritta l’evoluzione della metrica indotta. In particolare viene descritto il comportamento del flusso Anomalo, provando che in gruppi di Lie 2-step-nilpotenti, J-abeliani e bilanciati il flusso converge, nella topologia di Cheeger-Gromov, ad un solitone algebrico non piatto.