Il Problema della Rovina del Giocatore con Probabilità Ignote

La tesi presentata ha lo scopo di descrivere una variazione del problema della rovina del giocatore classico definito come il problema della rovina del giocatore con probabilità ignote. Il testo sarà strutturato in diversi capitoli. Nel primo capitolo saranno definite le principali caratteristiche dei processi stocastici con riferimento particolare alle catene di Markov, nel secondo capitolo verrà brevemente illustrata l’Inferenza Bayesiana che permette di descrivere la teoria della probabilità con un approccio differente rispetto a quello classico, infatti, l’elemento principale di questo approccio è la presenza delle distribuzioni a priori e posteriori che derivano dal teorema di Bayes. Nel terzo capitolo comparirà la descrizione del problema della rovina del giocatore classico per il quale un giocatore partecipa ad un gioco con una fortuna iniziale i e il suo scopo è quello di raggiungere un capitale finale N, il gioco è descritto da una catena di Markov con probabilità di passare da uno stato a quello successivo, e quindi di vincere, con probabilità p e a quello precedente, e quindi di perdere, con probabilità 1-p per ogni mano successiva, in questo caso il gioco termina nel momento in cui viene raggiunto il capitale N oppure quando il capitale posseduto dal giocatore è zero, ossia cade in rovina. L’ultimo capitolo sarà dedicato alla descrizione della variazione del problema della rovina del giocatore classico, il quale ha come elementi caratteristici la possibilità di interrompere il gioco nel momento in cui il giocatore sceglie di volerlo abbandonare e la particolarità di avere la probabilità p di vittoria ad ogni mano successiva del gioco ignota. Inoltre verranno descritte diverse strategie di gioco le prime delle quali sono più radicali e vengono definite strategie audace, con la quale il giocatore prosegue il gioco fino a quando non vince o cade in rovina, e timida mediante la quale il giocatore non partecipa al gioco; successivamente saranno introdotte le strategie ottima, per la quale il parametro p di vittoria è conosciuto, e ponderata che analizza una stima per il parametro p e in seguito permette di applicare una tra la strategia audace o timida. Di ciascuna strategia verranno definite le diverse probabilità di vittoria, rovina del giocatore e uscita dal gioco e successivamente saranno introdotti i valori del capitale atteso dal giocatore e l’utility che è possibile definire come il capitale atteso generalizzato del giocatore, infatti, essa non dipende dalla probabilità p di vittoria ad ogni mano successiva. In conclusione, le diverse strategie saranno confrontate in modo tale da comprendere in quali circostanze è preferibile utilizzarne una al posto di un’altra.