Il teorema di Gauss-Bonnet

The main purpose of this thesis is to provide a comprehensive exposition and demonstration of the Gauss-Bonnet theorem in its two versions, local and global, along with some of its main applications. The thesis is structured into three chapters. The first chapter serves as a general but not exhaustive introduction to the geometry of surfaces, defining the mathematical tools that will be useful later on. The exposition focuses on definitions and examples rather than theorems, of which only the most important ones are presented along with their proofs. The last paragraph contains the proof of one of the most profound theorems in surface geometry, Gauss's Theorema Egregium. The second chapter is dedicated to the detailed demonstration of the Gauss-Bonnet theorem, along with its immediate applications that highlight its significance in surface geometry. The third chapter introduces some concepts from Morse theory. In particular, the Morse lemma is demonstrated and then used to prove a further application of the Gauss-Bonnet theorem to continuous functions with non-degenerate critical points on a surface. The obtained results are particularly surprising as they connect differential geometry, topology, and mathematical physics, once again showing how the various branches of mathematics are actually part of a unified body of knowledge.

Lo scopo principale della tesi è l’esposizione e dimostrazione completa del teorema di Gauss-Bonnet nelle sue due versioni, locale e globale, e di alcune delle sue principali applicazioni. La tesi è strutturata in tre capitoli. Il primo capitolo è un’introduzione generale ma non approfondita alla geometria delle superfici, in cui vengono definiti gli strumenti matematici utili successivamente. L’esposizione è incentrata su definizioni ed esempi piuttosto che su teoremi, dei quali sono esposti solo i più importanti con le rispettive dimostrazioni. Nell’ultimo paragrafo è dimostrato uno dei teoremi più profondi della geometria delle superfici, il teorema Egregium di Gauss. Il secondo capitolo è dedicato alla dimostrazione, dettagliata in ogni suo passaggio, del teorema di Gauss-Bonnet e alle sue applicazioni più immediate che evidenziano immediatamente la grande importanza di quest’ultimo nella geometria delle superfici. Il terzo capitolo introduce alcuni concetti della teoria di Morse. In particolare viene dimostrato il lemma di Morse poi utilizzato per dimostrare un’ulteriore applicazione del teorema di Gauss-Bonnet a funzioni continue con punti critici non degeneri su una superficie. I risultati ottenuti sono particolarmente sorprendenti poiché connettono geometria differenziale, topologia e matematica fisica mostrando ancora una volta come le diverse branche della matematica facciano in realtà parte di un unico corpo di sapere.