Nullstellensatz e strutture di Jacobson

Questo lavoro prende le mosse dal teorema degli zeri (Nullstellensatz), importante risultato ottenuto a fine Ottocento da David Hilbert. Di tale teorema, presentato in veste moderna come un risultato della teoria dei campi algebricamente chiusi, si enunciano le numerose formulazioni in cui è esprimibile (tra le quali il cosiddetto lemma di Zariski). Ci si occupa poi di tre temi. (1) Un'analisi attenta mostra che il Nullstellensatz è la manifestazione di alcune proprietà strutturali di una particolare classe di anelli commutativi, detti di Jacobson. Alla teoria degli anelli di Jacobson, di cui si dà una trattazione approfondita e completa che rielabora i risultati di O. Goldman e W. Krull del 1951-52, è dunque riconducibile il teorema di Hilbert, che riceve così una dimostrazione completa, rigorosa e generale. (2) Il Nullstellensatz può essere interpretato come l'asserzione dell'esistenza di una relazione profonda tra un oggetto geometrico (una varietà algebrica affine su un campo k) e un oggetto algebrico (una k-algebra finitamente generata e ridotta). Questa relazione, che sta alla base dello sviluppo della geometria algebrica classica, viene ulteriormente esplorata trattando il caso classico in cui il campo k sia algebricamente chiuso, ma anche quello in cui non lo sia, o in cui la k-algebra sia sostituita con un anello arbitrario R. In particolare, scegliendo un anello R di Jacobson, la teoria di tali anelli può essere riformulata in termini geometrici, ricorrendo alla nozione di spettro per costruire la controparte geometrica dell'anello dato. Si introduce quindi la nozione di spazio topologico di Jacobson e si illustra il legame tra spazi e anelli di Jacobson, ottenendo una nuova dimostrazione di alcuni risultati dedotti in precedenza per via puramente algebrica. (3) Una delle formulazioni più semplici e note del Nullstellensatz asserisce l'esistenza di un insieme di polinomi soddisfacenti opportune condizioni. Le dimostrazioni del teorema non sono costruttive e non forniscono informazioni sulla natura effettiva di tali polinomi. Ci si occupa quindi di presentare il problema del 'Nullstellensatz effettivo', sviluppatosi negli ultimi decenni del Novecento, che si propone di stabilire delle stime sui gradi dei polinomi in questione. Si presentano alcuni aspetti del problema dimostrando che esso è riconducibile a uno apparentemente diverso e si discutono poi i risultati raggiunti, distinguendo il caso di una sola indeterminata (con una dimostrazione originale del teorema sulla stima ottimale) e il caso di due o più indeterminate, che è stato risolto da J. Kollár nel 1988.