Teoria dell'eliminazione di variabili

La teoria dell'eliminazione di variabili è lo studio delle tecniche che entrano in gioco durante la risoluzione di un sistema di equazioni polinomiali. Dato un sistema di equazioni polinomiali dipendenti da n variabili, la teoria dell'eliminazione ci permette di ricavare un sistema equivalente a quello di partenza in cui le equazioni coinvolte dipendono da un numero minore di indeterminate. Se il numero delle equazioni del sistema coincide con quello delle incognite, siamo in grado di ricavare un'equazione dipendente da una variabile, ottenuta eliminando tutte le altre indeterminate tra le equazioni del sistema. Per affrontare il problema, in questa tesi vengono proposti due metodi risolutivi: il primo è una diretta applicazione della teoria delle basi di Groebner, il secondo invece fa uso dei risultanti di polinomi. La tesi è suddivisa in quattro capitoli; il Capitolo 1 contiene i prerequisiti algebrici necessari per affrontare gli argomenti successivi; in particolare vengono date le definizioni di anello, di polinomio, di ideale e vengono trattate le principali proprietà dell'anello polinomiale in cui si lavora. Il Capitolo 2 è dedicato alle studio delle basi di Groebner di un ideale: dopo aver analizzato il problema dell'ordinamento tra termini all'interno di un polinomio in più indeterminate e il problema della divisione, vengono discusse le proprietà principali delle basi di Groebner, esistenza e unicità delle basi e l'algoritmo classico per costruire una base di Groebner per un ideale Nel Capitolo 3 si entra nel vivo dell'argomento principale della tesi, attraverso l'enunciato e la dimostrazione del teorema di Eliminazione. Seguono numerosi esempi di applicazione della teoria e viene esaminato il problema della determinazione di un'equazione cartesiana di una curva/superficie, di cui viene fornita una parametrizzazione. Inoltre, sempre nello stesso capitolo, viene enunciato il teorema di Estensione, il quale fornisce delle condizioni sufficienti che garantiscono l'esistenza delle soluzioni finali di un sistema. Infine, nel Capitolo 4 viene studiata la teoria dei risultanti di polinomi; viene data la definizione classica, come determinante di una matrice, successivamente vengono analizzate le proprietà principali e metodi di calcolo differenti da quello della definizione; successivamente, dopo aver visto l'applicazione al discriminante di un polinomio, viene trattato il legame tra i risultanti e la teoria dell'eliminazione, con esempi. Per concludere, grazie alla teoria dei risultanti ,viene dimostrato il teorema di Estensione, enunciato nel capitolo precedente.