Il teorema di Torelli

Given a compact Riemann surface X of genus g, it is a classical construction to associate to X a g-dimensional complex torus, the Jacobian of X, that we denote with J(X). As a consequence of Abel-Jacobi’s theorem, when the genus equals 1 we have an isomorphism between X and its J(X), but clearly this can not hold anymore for g ≥ 2. Can we still determine X from its Jacobian? Torelli’s theorem answers positively to this question stating that the Jacobian, endowed with its natural principal polarization, defines the corresponding Riemann surface up to isomorphism.

Data una superficie di Riemann compatta X di genere g, è una costruzione standard associare a X un toro complesso g-dimensionale, la sua Jacobiana, che denotiamo con J(X). Come conseguenza del teorema di Abel-Jacobi, quando il genere è 1 si ha un isomorfismo tra X e la sua J(X), ma chiaramente questo non può essere vero per g ≥ 2. È ancora possibile determinare X a partire dalla sua Jacobiana? Il teorema di Torelli risponde positivamente a questa domanda, affermando che la Jacobiana, dotata della sua naturale polarizzazione principale, determina la corrispondente superficie di Riemann a meno di isomorfismo.