Modelli semi-Markoviani di diffusione anomala.

This thesis investigates diffusion processes (Ito) and anomalous diffusion processes, exploring their connection with Markovian and semi-Markovian processes. Diffusion processes are introduced through stochastic differential equations, and their theory is thoroughly examined. The link with Markov processes, a fundamental part of the discussion, is introduced alongside the theory of operator semigroups and Kolmogorov equations (parabolic PDEs). Anomalous diffusions are studied using the theory of semi-Markov processes, delving into the time-change technique for constructing such processes. Additionally, the connection with non-integer order (non-local) differential equations is introduced, serving as the counterpart (for non-local time equations) to the probabilistic approach to parabolic PDEs. Finally, there is an in-depth exploration of the phenomenon of anomalous aggregation: the anomalous behavior of some sub-diffusive systems recently formalized through the theory of semi-Markov processes.

In questa tesi si studiano processi di diffusione (di Ito) e di diffusione anomala e il loro legame con i processi Markoviani e semi-Markoviani. I processi di diffusione vengono introdotti a partire dalle equazioni differenziali stocastiche la cui teoria viene, dunque, approfondita. Il legame con i processi di Markov, che costituisce parte fondamentale dell'argomento, viene introdotto insieme alla teoria dei semigruppi di operatori e alle equazioni di Kolmogorov (PDE paraboliche). Le diffusioni anomale vengono studiate usando la teoria dei processi semi-Markoviani e, dunque, si approfondisce la tecnica del time-change per la costruzione di tali processi. Si introduce, inoltre, il legame con le equazioni differenziali di ordine non intero (non locali) che costituisce la controparte (per equazioni non-locali nel tempo) dell'approccio probabilistico  alle PDE paraboliche. Infine, è presente un approfondimento sul fenomeno dell'aggregazione anomala: il comportamento anomalo di alcuni sistemi sub-diffusivi recentemente formalizzato mediante la teoria di processi semi-Markoviani.