Il gruppo del Cubo di Rubik

Il cubo di Rubik è un famoso rompicapo, inventato dall’ungherese Ernő Rubik nel 1974. Si tratta di un cubo 3 × 3 × 3 formato da 27 cubetti più piccoli, di cui solo 26 sono visibili. Questi cubetti sono montati su una struttura che permette la rotazione delle facce del cubo attorno alle rette perpendicolari alle facce e passanti per il centro del cubo. Ciascuna faccia di ogni cubetto è colorata di uno tra 6 colori diversi, solitamente rosso, giallo, arancione, verde, blu e bianco. Lo scopo del gioco è, tramite rotazioni delle 6 facce, giungere a un cubo risolto, cioè un cubo in cui su ogni faccia compare un solo colore. In questo elaborato, analizzeremo il cubo di Rubik da un punto di vista algebrico, evidenziando, in particolare, la sua struttura di gruppo. Questo approccio permetterà di individuare quelle mosse ottimali per la risoluzione del cubo. Tutte quelle mosse utili alla risoluzione, infatti, sono particolari oggetti algebrici le cui proprietà facilitano la memorizzazione degli algoritmi risolutivi e la risoluzione stessa del cubo. Il Capitolo 1 è dedicato a richiamare quei concetti teorici che riguardano il cubo di Rubik. In particolare, viene definita la struttura di gruppo e vengono presentate alcune sue proprietà. Vi è poi un approfondimento su permutazioni e cicli, in quanto il gruppo del cubo di Rubik è proprio un gruppo di permutazioni. L’analisi verte, quindi sui gruppi finiti. Il Capitolo 2, invece, è il cuore della trattazione. Viene infatti presentato e analizzato nello specifico il gruppo del cubo di Rubik e, in particolare, vengono trattati i concetti teorici introdotti nel Capitolo 1 applicati al cubo. In questo capitolo, inoltre, vengono evidenziate le caratteristiche di alcune strutture algebriche, quali commutatori ed elementi coniugati, al fine di sottolinearne l’utilità nella risoluzione del rompicapo. Infine, il Capitolo 3 è dedicato all’analisi di alcuni algoritmi standard di risoluzione utilizzati per risolvere il cubo di Rubik. Di questi algoritmi, viene evidenziata la natura algebrica della struttura e le proprietà che essa porta con sé. Nella parte finale, si conclude con alcuni cenni ai metodi risolutivi più rapidi e alla disciplina dello speedcubing. Si accenna, infine, al cosiddetto "numero di Dio", cioè il numero minimo di mosse necessarie per risolvere il cubo di Rubik a partire da una qualsiasi configurazione.