Forme di Poincaré-Cartan e trasformazione di Legendre in meccanica analitica

Nel corso del XVIII secolo la meccanica di Newton viene riformulata grazie a Lagrange ed Euler, con il contributo nei secoli successivi di Hamilton e Jacobi, ancora oggi questo approccio è fondamentale in numerosi ambiti della fisica. Lo scopo di questo lavoro è quello di indagare gli aspetti geometrico- differenziali alla base della meccanica classica. Dopo aver presentato il problema con conseguenti richiami di meccanica analitica si introdurrà una versione estesa della più tradizionale forma di Poincaré- Cartan, rinominata forma di Lagrange-Poincaré-Cartan, e si dimostrerà come da essa sono ancora ricavabili le equazioni differenziali del moto che caratterizzano la meccanica lagrangiana e quella hamiltoniana. Per poter definire una tale forma differenziale sarà necessario trovare l’ambiente di naturale definizione della stessa, il quale implicherà il dover introdurre nuovi concetti. Dopo aver mostrato la consistenza della nuova formulazione si verificherà che, nel caso di lagrangiana non regolare, si ottengono risultati diversi rispetto a quelli attesi dalla definizione tradizionale della forma di Poincaré-Cartan.