Analisi armonica su grafi e principi di indeterminazione

This thesis focuses on some uncertainty principles arising in the harmonic analysis of signals on graphs. After recalling some general notions, we introduce the Fourier transform of a function defined on the vertices of a graph, in which the eigenvalues and eigenvectors of its laplacian matrix are involved. We further remark that, for a suitable graph, the discrete Fourier transform can be interpreted as a particular case of this new transform. This is our starting point to present two forms of the uncertainty principle on graphs, mimicking the additive version of the classical one in L2(R). We further characterize the feasibility region of the values corresponding in the classical case to the time and frequency diffusion of a signal. Finally, after a brief review of the theory of frames in Hilbert spaces, we state and prove two uncertainty principles for finite Parseval frames and their extension to the framework of the graph Fourier transform.

L'argomento di questa tesi è la presentazione di alcuni principi di indeterminazione nell'ambito dell'analisi armonica di segnali su grafi. Dopo alcuni richiami di carattere generale, si introduce la nozione di trasformata di Fourier di una funzione definita sui vertici di un grafo, in cui intervengono gli autovalori e autovettori della matrice laplaciana di quest'ultimo. Successivamente, si osserva che, scegliendo un opportuno grafo, la trasformata di Fourier discreta può essere interpretata come un caso particolare di questa nuova trasformata. Motivati da ciò, si propongono due principi di indeterminazione su grafi, in analogia con una versione additiva del principio di indeterminazione “classico”, ovvero su L2(R). Si procede in seguito alla caratterizzazione della regione di ammissibilità dei valori corrispondenti, nel caso classico, alla diffusione di un segnale rispetto ai tempi e alle frequenze. Infine, dopo un breve accenno ai frames in spazi di Hilbert, si enunciano e dimostrano due principi di indeterminazione per frames di Parseval finiti e una loro estensione nell'ambito della trasformata di Fourier su grafi.