Option pricing through stochastic calculus and numerical methods

In this thesis we study the general properties of the generalized Black and Scholes model, a stochastic model that describes the price evolution of a financialasset. Particular attention is paid to the link between partial differential equations and stochastic differential equations solutions, highlighting also the applications to the computation of option prices. In fact, a famous result is presented, the Feynman-Kac formula, which points out the relationship between the probabilistic and analytical worlds. Finally, we study some methods for the numerical solution of stochastic differential equations frequently used in the financial world.

In questa tesi ci occupiamo dello studio delle proprietà generali del modello di Black and Scholes generalizzato, un modello stocastico che descrive l'evoluzione del prezzo di un attivo finanziario. Particolare attenzione è posta al legame tra soluzioni di equazioni differenziali alle derivate parziali e soluzioni di equazioni differenziali stocastiche, evidenziane anche le applicazioni al calcolo del prezzo delle opzioni. Si presenta infatti un celebre risultato, la formula di Feynman-Kac, la quale mette in luce la relazione tra il mondo probabilistico e quello analitico. Infine studiamo alcuni metodi per la soluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche frequentemente utilizzati in ambito finanziario.