On the factorization of birational maps as chains of blowups and blowdowns

Whether it is possible or not to factor a birational map between irreducible smooth projective varieties as a sequence of blowups and blowdowns was a major question during the twentieth century. In the thesis we prove that for any birational map between two irreducible smooth projective surfaces there exists a factorization into a sequence of only blowups followed by a sequence of only blowdowns. This is conjectured to hold in higher dimension and only a weak form of this statement has been proved in 1999. As an application of this result, invariants for the blowup are also birational invariants and we expose two main examples of these invariants.

Una questione importante, durante il ventesimo secolo, era se fosse possibile o meno fattorizzare una mappa birazionale tra varietà proiettive lisce e irriducibili come sequenze di blowup e blowdown. Nella tesi dimostriamo che per ogni mappa birazionale fra due superfici proiettive lisce e irriducibili esiste una fattorizzazione in una sequenza di soli blowup seguita da una sequenza di soli blowdown. Ciò è una congettura in dimensione più alta e solo una forma debole di questo enunciato è stata provata nel 1999. Come applicazione di questo risultato, gli invarianti per il blowup sono anche invarianti birazionali e studiamo due esempi principali di questi invarianti.