Relazioni di dualità nell'ambito di frame di Gabor e frame wavelet

The present work comes from the analysis of the paper by Ole Christensen and Say Song Goh from 2014, “From dual pairs of Gabor frames to dual pairs of wavelet frames and vice versa”. After introducing some fundamental concepts of Fourier Analysis, Chapter 2 and Chapter 3 provide a framework for the subsequent discussion: the first one focuses on Gabor frames and on some of their distinctive features, while the second focuses on wavelet frames and their peculiarity. In the last chapter we highlight how Gabor frames and wavelet frames shouldn't be treated as separate issues, but there is a strong connection between them. We show the procedure which allows to construct dual pairs of wavelet frames based on certain Gabor frames and viceversa, presenting some examples as well. Moreover, starting from a pair of dual wavelet frames, there is some freedom in the choice of the scaling and translation parameters.

Il presente lavoro di tesi nasce dall'analisi dell'articolo di Ole Christensen e Say Song Goh del 2014, “From dual pair of Gabor frames to dual pair of wavelet frames and vice versa”. Dopo aver introdotto alcuni concetti fondamentali dell'analisi di Fourier, i capitoli 2 e 3 gettano le basi per la trattazione successiva: il primo analizza i frame di Gabor ed alcune delle proprietà che li caratterizzano, mentre nel secondo vengono analizzati i frame wavelet e le loro caratteristiche. Nel quarto ed ultimo capitolo si mette in luce come frame di Gabor e frame di wavelet non debbano essere trattati come argomenti separati, bensì tra di loro intercorra una stretta relazione. Si presenta la procedura che permette di costruire coppie di frame wavelet duali partendo da frame di Gabor, ed il viceversa, presentando anche alcuni esempi. Si dimostra inoltre che c'è una certa libertà nella scelta dei parametri, poiché partendo da una coppia di frame wavelet duali è possibile costruire frame wavelet duali che hanno i parametri di scala e traslazione desiderati.