Analisi Microlocale, Fronti d'Onda e Informazione Quantistica

The aim of this thesis is threefold. After revising a few of the main features of some fundamental tools of mathematical analysis in Chapter 1, such as distribution theory, Fourier transform, Sobolev spaces and convolution, in Chapter 2 we treat our first main topic, namely, the theory of pseudodifferential operators. In particular, we introduce amplitudes and oscillatory integrals, which are then employed to define the symbols and the corresponding operators. In Chapter 3 we deal with our second main topic, which is the core mathematical concept of the thesis: the wavefront set of a distribution. Here, we mainly focus on two aspects: first, we make use of the apparatus provided by the pseudodifferential calculus to prove some of the most remarkable properties of wavefront sets, such as the Propagation Theorem; subsequently, we illustrate in detail the connection between wavefront sets and the problem of the multiplication of two distributions. The concluding Chapter 4 of the thesis is devoted to our third main topic: the description of the interplay between microlocal analysis and quantum information theory. In particular, we analyse the problem of distillability of certain quantum systems, which can be treated using the mathematical theories illustrated in the previous chapters.

Lo scopo di questa tesi è triplice. Dopo aver esposto, nel Capitolo 1, alcune delle caratteristiche principali di strumenti fondamentali dell'analisi matematica, quali la teoria delle distribuzioni, la trasformata di Fourier, gli spazi di Sobolev e la convoluzione, nel Capitolo 2 trattiamo il primo dei tre argomenti principali di questo lavoro, vale a dire la teoria degli operatori pseudodifferenziali. In particolare, introduciamo ampiezze e integrali oscillanti, che utilizziamo quindi per definire i simboli e i corrispondenti operatori. Nel Capitolo 3 affrontiamo il secondo argomento principale, che rappresenta anche il concetto matematico chiave di questo lavoro di tesi: lo studio del fronte d'onda di una distribuzione. Ci concentreremo principalmente su due aspetti: innanzitutto, utilizziamo l'apparato fornitoci dalla teoria pseudodifferenziale per dimostrare alcune delle proprietà più interessanti dei fronti d'onda, quale il Teorema di Propagazione; successivamente, illustriamo in dettaglio la connessione tra fronti d'onda e il problema della moltiplicazione di distribuzioni. Il Capitolo 4, che chiude la tesi, è dedicato all'ultimo argomento che vogliamo trattare: la connessione tra l'analisi microlocale e la teoria dell'informazione quantistica. In particolare, analizziamo il problema della distillabilità di certi sistemi quantistici, problema che può essere trattato utilizzando le teorie matematiche illustrate nei capitoli precedenti.