Curve e superfici h-Bézier con applicazioni

I polinomi classici di Bernstein, furono introdotti nel 1912, mentre le curve e le superfici di Bézier furono studiate da Paul de Casteljau e Pierre Bézier alla fine degli anni '50 e all'inizio degli anni '60. Una proprietà importante delle curve e delle superfici di Bézier, è che possono essere calcolate usando algoritmi di valutazione ricorsiva basati su determinate proprietà strutturali delle funzioni di base di Bernstein. I polinomi di Bernstein, le curve e le superfici di Bézier sono utilizzate in vari campi dell'analisi numerica, della geometria computazionale, nel CAGD, nella teoria dell'approssimazione e altri campi. In questa tesi vogliamo anzitutto analizzare una generalizzazione delle curve e superfici classiche di Bézier, cioè definiremo le curve h-Bèzier e le corrispondenti superfici di Bézier che differiscono dalle classiche proprio per la dipendenza dal parametro di forma h. Questo lavoro verrà affrontato attraverso una nuova lente ed un potente strumento: l'h-blossoming. Quindi nel primo Capitolo faremo un breve richiamo al concetto di blossoming classico per le curve di Bèzier Nel secondo Capitolo analizzeremo una variante del blossom, l'h-blossom, in cui verrà modificata la proprietà della diagonale rispetto al tradizionale blossom. Usando l'h- blossom, svilupperemo molte identità e proprietà che coinvolgono le basi h-Bernstein. Inoltre per ogni curva h-Bézier di grado n, troveremo un insieme di n! algoritmi di valutazione ricorsiva e invarianti per trasformazioni affini. Costruiremo la procedura ricorsiva di suddivisione per le curve h-Bézier: a partire dal poligono di controllo di una curva h-Bézier, questa procedura di suddivisione, genererà una sequenza di poligoni di control- lo che convergeranno rapidamente all'originaria curva h-Bézier. Infine studieremo alcune proprietà dell'operatore lineare h-Bernstein, confrontando le sue proprietà di approssimazione su una funzione test. Nel terzo Capitolo estenderemo la definizione di h-blossoming per polinomi in una varia- bile al caso di polinomi in due variabili. Useremo quindi la versione bivariata dell'(h1, h2)- blossom per studiare le proprietà, le identità, e gli algoritmi associati alle superfici (h1, h2)- Bézier. Costruiremo l'algoritmo ricorsivo di suddivisione per le superfici (h1, h2)- Bézier e proveremo l'ordine di convergenza. Infine analizzeremo la proprietà di rappresentazione dell'operatore (h1,h2)-Bernstein, di convergenza e del corrispondente ordine di approssimazione di una funzione f(x,y) tramite l'operatore (h1, h2)- Bernstein. Nel quarto Capitolo studieremo le funzioni di base h-Bernstein definite su un dominio triangolare. In particolare, dopo aver definito le funzioni polinomiali h-Bernstein triangolari di grado n, proveremo le loro proprietà algebriche e geometriche, come la partizione dell'unità e l'elevamento di grado, e mostreremo che formano una base per lo spazio dei polinomi di grado totale al più n definiti su un dominio triangolare. In seguito, vedremo l'algoritmo di de Casteljau e l'identità di Marsden. Infine definiremo l'operatore di approssimazione h- Bernstein di una funzione definita su un dominio triangolare. Analizzeremo le proprietà di approssimazione, di convergenza e forniremo una stima dell'errore che si commette approssimando una funzione con il polinomio di approssimazione generato dall'operatore h-Bernstein.