Problemi al bordo per equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine

In questa tesi ci poniamo l'obiettivo di analizzare un problema al bordo o ai limiti per equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine. Discutiamo le proprietà dei problemi ai limiti per le equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Proprio per questo motivo nel Capitolo 1 ci soffermiamo ad analizzare le principali proprietà di quest'ultime. Nel secondo capitolo studiamo i problemi al bordo o ai limiti. Mentre i problemi di Cauchy possono essere visti come problemi di tipo temporale, in quanto vengono imposte condizioni iniziali e si studia l'evolvere dell'equazione nel tempo, i problemi al bordo possono essere visti come problemi di tipo spaziale. Il modello richiede infatti di imporre condizioni al bordo, cioè condizioni imposte in più punti, invece che condizioni iniziali. Per esempio, una funzione y(x) può soddisfare un'equazione differenziale su di un intervallo a ≤ x ≤ b avendo assegnati i valori che essa assume agli estremi dell'intervallo, cioè avendo assegnati i valori di y(a) e y(b). Questi due valori vengono chiamate condizioni al bordo ed il problema complessivo che ne risulta è chiamato problema al bordo. In realtà, in questi tipi di problemi possono essere specificate y(a) e y′(b), o y′(a) e y(b) o combinazioni di questi valori. L'analisi di questo problema introduce in modo naturale la teoria di Sturm-Liouville, compresa la rappresentazione di una funzione in serie di funzioni ortonormali e la presenza di casi particolari come i problemi di Sturm-Liouville singolari. Nel corso dello studio di questi problemi viene anche inclusa la trattazione delle equazioni non omogenee e delle condizioni al bordo di tipo non omogeneo.