Approssimazione Iterata Progressiva e sue varianti

In diverse applicazioni del Computer Aided Geometric Design (CAGD) è necessario interpolare o approssimare un insieme di punti dati con curve o superfici parametriche. In letteratura diversi metodi sono stati considerati a tal proposito. Uno di questi usa la proprietà di approssimazione iterata progressiva (PIA) di una curva o di una superficie. Tale metodo è stato introdotto per la prima volta da Qi nel 1975 nel caso di B-spline cubiche e successivamente de Boor ne ha dimostrato la convergenza. Il metodo prevede che i punti di controllo iniziali di una curva, aggiustati in modo opportuno tramite formule iterative, diventino al limite i suoi punti di interpolazione. In questo elaborato vengono introdotte alcune varianti del metodo PIA. La trattazione degli argomenti è suddivisa come segue. Nel primo capitolo dopo aver introdotto il concetto generale di approssimazione iterata progressiva, vengono presentate alcune basi. In particolare viene dimostrato che a causa di una lenta convergenza, il metodo con la base di Bernstein risulta essere poco interessante da un punto di vista pratico delgado2008comparison. Inoltre vengono messe a confronto le basi B-spline uniformi quadratica e cubica, mostrando che nel secondo caso si ha una convergenza più lenta delgado2008comparison. Infine vengono riportati i principali risultati di alcune varianti del metodo PIA. Nel secondo capitolo vengono presentati ulteriori metodi di approssimazione iterata progressiva. Il metodo EPIA o metodo PIA esteso utilizza un numero di punti di controllo inferiore al numero dei punti assegnati. Tale metodo risulta importante per poter interpolare un elevato numero di dati e la procedura di interpolazione tiene conto del risultato ottenuto all'iterazione precedente. Il metodo PIA adattivo distingue i punti di controllo in due classi attiva e fissa. Ad ogni iterazione vengono corretti soltanto i punti di controllo appartenenti alla classe attiva, il cui numero ad ogni iterazione diminuisce, mentre la classe dei punti di controllo fissa, il cui numero ad ogni iterazione diminuisce, rimane invariata. Il metodo MLSPIA o metodo di approssimazione iterata progressiva ai minimi quadrati con memoria ha una costruzione molto simile a quella del metodo LSPIA, ma per la costruzione del vettore di regolazione dei punti di controllo utilizza l'iterata precedente. Infine viene fatto un confronto tra il metodo LSPIA e il metodo MLSPIA.