Invarianti eta delle sfere di Berger

The aim of this thesis is to draw a new method for the computation of the eta invariants of the Berger spheres (modulo integers). The space we choose to work in is CP^n, with the Fubini-Study metric, because the restriction of that metric to the boundary of a closed ball yields to the Berger metric on the sphere. Applying Atiyah-Patodi-Singer theorem, we can write a formula for the index of the Classical Dirac operator. Such formula involves not only the eta invariant for the Berger spheres, but also two integrals, which we can compute knowing the characteristic classes of the tangent bundle of CP^n. We therefore conclude by knowing that the index of the Classical Dirac operator is equal to 0 (modulo integers), thus we find a formula for the computation of the eta invariants of the Berger spheres (modulo integers). ​

L'obiettivo di questa tesi è illustrare un nuovo metodo per il calcolo degli invarianti eta per le sfere di Berger (modulo interi). L'ambiente di lavoro scelto è CP^n, munito della metrica di Fubini-Study, poichè la restrizione della metrica di Fubini-Study al bordo di una generica palla chiusa fornisce la metrica di Berger sulla sfera. Applicando il Teorema di Atiyah-Patodi-Singer, si può scrivere una formula per l'indice dell'operatore classico di Dirac. Tale formula, oltre agli invarianti eta delle sfere di Berger, contiene due integrali, che coinvolgono classi caratteristiche del fibrato tangente a CP^n e che è possibile calcolare. Sapendo che l'indice dell'operatore classico di Dirac è pari a 0 (modulo interi), si trova così una formula per il calcolo degli invarianti eta per le sfere di Berger (modulo interi). ​